Question

13．△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=$\sqrt{3}$，将△ABC绕点C顺时针旋转α，
（1）当点B的对应点B′恰好落在AB边上时（如图），α=60°；
（2）在 （1）的条件下，将旋转后的图形沿射线CB平移，设平移的距离为x，平移后的图形与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）证得△B′BC为等边三角形即可得到∠B′CB=α=60°；
（2）分x=0、0＜x≤1、1＜x≤$\frac{3}{2}$、$\frac{3}{2}$＜x≤2四种情况分类讨论得到重叠部分的面积即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵B′C=BC，
∴△B′BC为等边三角形，
∴∠B′CB=α=60°；
（2）如图①，

BC=AC tan30°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1=B′C，A′B′=AB=2，∠A′=∠A=30°．
由（1）得，∠B′CB=60°=∠B=∠BB′C．则△BB′C是等边三角形，AB′=1，
∴∠A′B′C=∠B′CB=60°，
∴A′B′∥BC．
∴B′D=$\frac{1}{2}$A′B′=$\frac{1}{2}$，A′D=$\frac{3}{2}$．S_△A′B′C=S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
当0＜x≤1时，如图②．

由题知B′E=CC′=x．
则A′D=$\frac{3}{2}$-x，DG=（$\frac{3}{2}$-x）•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$-x）．
∴S_△A′DG=$\frac{1}{2}$A′D-DG=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-x）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$-x）=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（$\frac{3}{2}$-x）²．
同理可证：△B′EF是等边三角形．
∴S_△B′EF=$\frac{1}{2}$B′E•B′F•sin60°=$\frac{1}{2}$×x×x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
∴y=S_△A′B′C-S_△A′DG-S_△B′EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（$\frac{3}{2}$-x）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²
当1＜x≤$\frac{3}{2}$时，如图③，

∵∠EMA′=∠AED-∠A′=30°=∠A′，
∴ME=A′E=2-x．
过点M做MN⊥A′B′，垂足为N．MN=ME sin∠MEN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x）．
∴S_△A′EM=$\frac{1}{2}$（2-x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²．
∴y=S_△A′EM-S_△A′DG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（$\frac{3}{2}$-x）²=$\frac{\sqrt{3}}{12}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，
当$\frac{3}{2}$＜x≤2时，如图④，

y=S_△A′EM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\sqrt{3}x$+$\sqrt{3}$．
∴综上y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5\sqrt{3}}{12}{x}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{8}（0＜x≤1）}\\{\frac{\sqrt{3}}{12}{x}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{5\sqrt{3}}{8}（1＜x≤\frac{3}{2}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}-\sqrt{3}x+\sqrt{3}（\frac{3}{2}＜x≤2）}\end{array}\right.$．

点评 考查了几何变换综合知识及相似三角形的知识，解题的关键是能够分类讨论确定重叠部分的面积，这也是中考的热点考点之一，有一定的难度，在平时的训练中应该加强训练，难度较大．