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20.如图,点A在∠B的边BG上,AB=5,sin∠B=$\frac{3}{5}$,点P是∠B的边BH上任意一点,连接AP,以AP为直径画⊙O交BH于C点. 若BP=$\frac{25}{4}$,求证:BG与⊙O相切.

分析 根据圆周角定理得出∠ACP=90°,求出∠ACB=90°,求出AC=3,BC=4,计算求出$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$=$\frac{5}{4}$,根据相似三角形的判定得出△BCA∽△BAP,根据相似求出∠BAP=90°,根据切线的判定得出即可.

解答 证明:∵AP为⊙O的直径,
∴∠ACP=90°,
∴∠ACB=90°,
∵AB=5,sin∠B=$\frac{3}{5}$,
∴AC=3,BC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4,
∵BP=$\frac{25}{4}$,
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$=$\frac{5}{4}$,
∵∠B=∠B,
∴△BCA∽△BAP,
∴∠BCA=∠BAP,
∵∠BCA=90°,
∴∠BAP=90°,
∴PA⊥AB,
∵PA过圆心O,
∴BG与⊙O相切.

点评 本题考查了解直角三角形,切线的判定,相似三角形的性质和判定的应用,能求出∠BAP=90°是圆的切线,注意:经过半径的外端,且垂直于半径的直线是圆的切线.

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