Question

如图，在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为

AB

的中点，D为

CB

的三分之一分点，且

DB

的长等于两倍的

CD

的长，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长．

Answer 1

分析：过E作EH⊥AB于H，连OC，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，由C为

AB

的中点，则CA=CB且∠CAB=45°，可得到CO⊥AB，根据切线的性质得OC⊥CE，则四边形OCEH为矩形，于是有EH=OC=r，又由于D为

CB

的三分之一分点，且

DB

的长等于两倍的

CD

的长，则∠BAD=2∠DAC，可得∠BAD=

2

3

×45°=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到AE的长．

解答：解：过E作EH⊥AB于H，连OC，如图，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
又∵C为

AB

的中点，
∴CA=CB，∠CAB=45°，
∴CO⊥AB，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
而EH⊥AB，
∴四边形OCEH为矩形，
∴EH=OC=r，
∵D为

CB

的三分之一分点，且

DB

的长等于两倍的

CD

的长，
∴∠BAD=2∠DAC，
∴∠BAD=

2

3

×45°=30°，
在Rt△AHE中，∠BAE=30°，∠AHE=90°，
∴AE=2EH=2r．

点评：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角；圆的切线垂直于过切点的半径；记住含30度的直角三角形三边的关系．