Question

设m，n为正整数，且m≠2，如果对一切实数t，二次函数y=x²+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求m，n的值．

Answer 1

分析：根据一元二次方程x²+（3-mt）x-3mt=0的两根分别为mt和-3，求得抛物线与x轴的两个交点间的距离，再结合已知条件得到关于t的不等式（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0，要保证不等式成立，根据抛物线的性质，则开口向上，且与x轴无交点，即可求解．

解答：解：因为一元二次方程x²+（3-mt）x-3mt=0的两根分别为mt和-3，所以二次函数y=x²+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为|mt+3|．
由题意，|mt+3|≥|2t+n|，即（mt+3）²≥（2t+n）²，即（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0．
由题意知，m²-4≠0，且上式对一切实数t恒成立，
所以

m2-4＞0 △=(6m-4n)2-4(m2-4)(9-n2)≤0

?

m＞2 4(mn-6)2≤0

?

m＞2 mn=6

，
所以

m=3 n=2

或

m=6 n=1.

点评：此题综合考查了二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系，有一定的难度．