Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，AD=5，BC=13，∠B=30°．
（1）求梯形ABCD的周长；
（2）求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）首先过点A作AE∥CD，交BC于点E，可得四边形AECD是平行四边形，又由∠B与∠C互余，易得△ABE是直角三角形，又由AD=5，BC=13，∠B=30°，即可求得梯形ABCD各边的长，继而求得梯形ABCD的周长；
（2）首先过点A作AF⊥BC于点F，易求得AF的长，继而求得梯形ABCD的面积．

解答：解：（1）过点A作AE∥CD，交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=5，AE=CD，
∴∠AEB=∠C，BE=BC-CE=13-5=8，
∵∠B与∠C互余，
∴∠B+∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°，
∵∠B=30°，
∴AE=

1

2

BE=4，
∴AB=

BE2-AE2

=4

3

，CD=AE=4，
∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4

3

+13+4+5=22+4

3

；

（2）过点A作AF⊥BC于点F，
∵∠B=30°，AB=4

3

，
∴AF=

1

2

AB=2

3

，
∴梯形ABCD的面积为：

1

2

（AD+BC）•AF=

1

2

×（5+13）×2

3

=18

3

．

点评：此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．