Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC，那么∠EMC与∠BEM的大小关系怎样？

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质得出AB∥CD，求出∠MCF=∠B，证△MCF≌△MBE，根据全等得出EM=FM，根据直角三角形的性质得出MD=MF，求出∠F=∠MDC，根据三角形的外角性质求出∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F，即可得出答案．

解答 解：∠EMC=3∠BEM，
理由是：延长EM交DC的延长线于F，连接DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MCF=∠B，
在△MCF和△MBE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCF=∠B}\\{MC=BM}\\{∠CMF=∠BME}\end{array}\right.$
∴△MCF≌△MBE（AAS），
∴EM=FM，
即M是EF的中点，
∵AB∥CD，DE⊥AB，
∴DE⊥FD，
∴△DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，
∴MD=MF，
∴∠F=∠MDC，
∵MC=CD，
∴∠MDC=∠CMD，
∴∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
∴∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质以及直角三角形斜边中线问题，能够通过作辅助线辅助解题是解此题的关键．