Question

14．如图，AB是圆O的直径，D、E为圆心O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，连接AC交圆心O于点F，连接AE、DE、DF，已知∠E=∠C．
（1）证明：CD=BD；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF=4，E是弧AB的中点，cosB=$\frac{2}{3}$，求EG•ED的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一得CD=BD；
（2）根据圆内接四边形的性质得：∠CFD=∠E=55°，最后利用三角形的外角定理求出结论；
（3）连接OE，先根据三角函数求直径AB的长，证明△AEG∽△DEA，$\frac{AE}{EG}=\frac{DE}{AE}$，化成乘积式可得结论．

解答 证明：（1）如图1，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵∠E=∠C，∠B=∠E，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴CD=BD；

（2）如图1，∵四边形AEDF是⊙O的内的内接四边形，
∴∠CFD=∠E=55°，
∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=55°+55°=110°；

（3）如图2，连接OE，
∵∠CFD=∠AED=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
∵∠B=∠AED，
∴cos∠B=co∠AED=$\frac{2}{3}$，
在Rt△ABD中，cos∠B=$\frac{2}{3}$，BD=4，
∴AB=6，
∵E是$\widehat{AB}$的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=3，
∴AE=3$\sqrt{2}$，
∵E是$\widehat{AB}$的中点，
∴∠ADE=∠EAB，
∵∠AEG=∠AED，
∴△AEG∽△DEA，
∴$\frac{AE}{EG}=\frac{DE}{AE}$，
∴EG•DE=AE²=（3$\sqrt{2}$）²=18．

点评 本题是圆的综合题，考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形三线合一、圆周角定理、三角函数、三角形相似的性质和判定，难度适中，熟练掌握圆周角定理和等腰三角形三线合一的性质是关键．