Question

10．已知抛物线y=ax²+bx+c经过（1，2）（3，0）两点，它在x轴上截得线段的长为6，求此抛物线的函数解析式．

Answer 1

分析 利用抛物线在x轴上截得线段的长为6得到关于抛物线与x轴的另一个交点坐标为（9，0）或（-3，0），则可设交点式y=a（x-3）（x-9）或y=a（x-3）（x+3），然后把（1，2）代入求出对应的a的值即可得到抛物线解析式．

解答 解：∵抛物线在x轴上截得线段的长为6，抛物线与x轴的一个交点为（3，0）
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（9，0）或（-3，0），
设抛物线解析式为y=a（x-3）（x-9）或y=a（x-3）（x+3），
把（1，2）代入y=a（x-3）（x-9）得a•（-2）•（-8）=2，解得a=$\frac{1}{8}$，此时抛物线解析式为y=$\frac{1}{8}$（x-3）（x-9），即y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{27}{8}$；
把（1，2）代入y=a（x-3）（x+3）得a•（-2）•4=2，解得a=-$\frac{1}{4}$，此时抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-3）（x+3），即y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{27}{8}$或y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．