Question

【题目】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

Ⅰ．由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是　 　．

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

Ⅱ．由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　 　．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

（2）如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．

Answer 1

【答案】（1）Ⅰ．B；Ⅱ． 2＜AD＜11；（2）7

【解析】

（1）（Ⅰ）根据全等三角形的判定定理解答．

（Ⅱ）根据三角形的三边关系计算．

（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答．

解：（1）（Ⅰ）在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故选：B；

（Ⅱ）∵△ADC≌△EDB，

∴BE＝AC＝9

∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴4＜AE＜22

∴2＜AD＜11，

故答案为：2＜AD＜11．

（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图②

∵AD是△ABC中线，

∴BD＝DC，

∵在△ADC和△MDB中，

，

∴△ADC≌△MDB（SAS），

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，

∵∠AFE＝∠AEF，

∴AE＝EF＝4，

∴AC＝AE+CE＝7，

∴BM＝AC＝7，

∴∠CAD＝∠AFE，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，

∴BF＝BM＝AC，

即AC＝BF＝7．