Question

10．如图，AB是⊙O直径，直径AB⊥弦CD于点E，四边形ADCF是平行四边形，CD=4$\sqrt{3}$，BE=2．
（1）求⊙O直径和弦AD的长；
（2）求证：FC是⊙O切线．

Answer 1

分析 （1）设⊙O的半径为r，连接OC，则OC=r，OE=r-2，根据垂径定理得到CE=$\frac{1}{2}$CD=2$\sqrt{3}$，然后根据勾股定理得到r²=（r-2）²+（2$\sqrt{3}$）²，求得r=4，从而求得AE=6，在Rt△AED中，根据勾股定理即可求得AD；
（2）连结OF，由四边形ABCD是平行四边形得到AF∥DC，则AB⊥AF，即：∠FAO=90°，然后证得平行四边形ADCF是菱形，得出FC=AF，证得△FCO≌△FAO，得出根据切线的判定得到∠FCO=∠FAO=90°，即可证得FC为⊙O的切线．

解答 解：（1）设⊙O的半径为r，连接OC，则OC=r，OE=r-2
∵直径AB⊥弦CD
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OCE中：OC²=CE²+OE² 即：r²=（r-2）²+（2$\sqrt{3}$）²，
解得：r=4，
∴AE=2×4-2=6，
在Rt△AED中：AD=$\sqrt{E{D^2}+A{E^2}}$=$\sqrt{{{（2\sqrt{3}）}^2}+{6^2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴⊙O直径为8，弦AD长为4$\sqrt{3}$．
（2）连结OF，
∵平行四边形ADCF中AF∥CD
又∵AB⊥CD，
∴AB⊥AF，即：∠FAO=90°，
由（1）可知AD=CD=4$\sqrt{3}$，
∴平行四边形ADCF是菱形，
∴FC=AF，
在△FCO和△FAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{OF=OF}\\{FC=AF}\end{array}\right.$
∴△FCO≌△FAO（SSS），
∴∠FCO=∠FAO=90°即：OC⊥FC
∴FC是⊙O切线．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、平行线四边形的性质和菱形的判定和性质．