Question

当m为整数时，关于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析：先计算出△并且设△=（2m+1）²-4（2m-1）=4m²-4m+5=（2m-1）²+4=n²（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m-1）²-n²=4，（2m-1-n）（2m-1+n）=-4，利用m，n都为整数进行讨论即可．

解答：解：当m为整数时，关于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0没有有理根．理由如下：
①当m为整数时，假设关于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0有有理根，则要△=b²-4ac为完全平方数，而△=（2m+1）²-4（2m-1）=4m²-4m+5=（2m-1）²+4，
设△=n²（n为整数），即（2m-1）²+4=n²（n为整数），所以有（2m-1-n）（2m-1+n）=-4，
∵2m-1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以

2m-1-n=2 2m-1+n=-2

或

2m-1-n=-2 2m-1+n=2

，
解得m=

1

2

或m=-

1

2

（都不合题意舍去）．
②2m-1=0时，m=

1

2

（不合题意舍去）．
所以当m为整数时，关于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0没有有理根．

点评：考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判别式为△=b²-4ac．△=b²-4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．同时考查了不定方程特殊解的求法．