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如图,已知直线l的函数表达式为y=-
43
x+8,且l与x轴,y轴分别交于A,B两点,动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,同时动点P从A点开始在精英家教网线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,设点Q,P移动的时间为t秒
(1)点A的坐标为
 
,点B的坐标为
 

(2)当t=
 
时,△APQ与△AOB相似;
(3)(2)中当△APQ与△AOB相似时,线段PQ所在直线的函数表达式为
 
分析:(1)根据一次函数图象上点的坐标特征,即与x轴的交点y=0,与y轴的交点x=0,求出A.B两点的坐标;
(2)当移动的时间为t时,根据△APQ∽△AOB,利用三角形的相似比求出t的值;
(3)当t=
30
11
秒时,PQ∥OB,PQ⊥OA,PA=
30
11
,即可求出P(
36
11
,0),进而求出线段PQ所在直线的函数表达式;
当t=
50
13
时PA=
50
13
,BQ=
100
13
,OP=
28
13
,有P(
28
13
,0),设Q点的坐标为(x,y),同上可求出Q的坐标,设PQ的表达式为y=kx+b,把P,Q两点的坐标分别为代入即可求出PQ的表达式.
解答:解:(1)由y=-
4
3
x+8,
令x=0,得y=8;
令y=0,得x=6.
A,B的坐标分别是(6,0),(0,8);

(2)由BO=8,AO=6,根据勾股定理得AB=
BO2+AO2
=10.
当移动的时间为t时,AP=t,AQ=10-2t.
∵∠QAP=∠BAO,当
PA
OA
=
QA
BA
时,
△APQ∽△AOB,
t
6
=
10-2t
10

∴t=
30
11
(秒).
∵∠QAP=∠BAO,
∴当
PA
AB
=
AQ
AO
时,
△APQ∽△AOB,
t
10
=
10-2t
6

∴t=
50
13
(秒),
∴t=
30
11
秒或
50
13
秒,经检验,它们都符合题意,此时△AQP与△AOB相似;

(3)当t=
30
11
秒时,PQ∥OB,PQ⊥OA,PA=
30
11

∴OP=
36
11

∴P(
36
11
,0),
∴线段PQ所在直线的函数表达式为x=
36
11

当t=
50
13
时PA=
50
13
,BQ=
100
13
,OP=
28
13

∴P(
28
13
,0),
设Q点的坐标为(x,y),则有
X
OA
=
BQ
BA

x
6
=
100
13
10

∴x=
60
13

当x=
60
13
时,y=-
4
3
×
60
13
+8=
24
13

∴Q的坐标为(
60
13
24
13
)

设PQ的表达式为y=kx+b,
28
13
k+b=0
60
13
k+b=
24
13

k=
3
4
b=-
21
13

∴PQ的表达式为y=
3
4
x-
21
13
点评:此题考查的是一次函数的解析式与三角形相结合,根据三角形相似求一次函数的解析式,有一定的难度.是中学阶段的难点.
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1
2
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1
2
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12
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