Question

已知：如图，在等边三角形ABC中，点D是AC边上的一个动点（D与A，C不重合），延长AB到E，使BE=CD，连接DE交BC于点F．
（1）求证：DF=EF；
（2）若△ABC的边长为10，设CD=x，BF=y，求y与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过D作DM∥AB交BC于M，则△CDM为等边三角形，得CD=DM，而BE=CD，得到DM=BE，易证得△FDM≌△FEB，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）得△FDM≌△FEB，得到MF=BF=y，易得CM=CD=x，而BC=10，即有x+y+y=10，即可得到y与x间的函数关系式．

解答：解：（1）证明：过点D作DM∥AE交BC于点M，
∴∠CDM=∠A，∠CMD=∠ABC，
又∵在等边三角形ABC中，∠A=∠ABC=∠C=60°，
∴∠CDM=∠CMD=∠C，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD=DM，
又∵CD=BE，
∴BE=DM，
∵DM∥AE，
∴∠MDF=∠E，
在△DMF和△EBF中，
∠MDF=∠E，
∠DFM=∠EFB，
DM=BE，
∴△DMF≌△EBF（AAS），
∴DF=EF；                                   

（2）由（1）得△DMF≌△EBF，
∴BF=MF=y，
由（1）得△CDM是等边三角形，
∴CM=CD=x，
又∵CM+MF+FB=BC=10，
∴2y+x=10，
即y=5-

1

2

x（0＜x＜10）．

点评：本题考查了三角形全等的判定与性质．也考查了等边三角形的性质以及一次函数几何图形中的应用．