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如图,已知点B(1,3)、C(1,0),直线y=x+k经过点B,且与x轴交于点A,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD.

(1)填空:A点坐标为(________,________),D点坐标为(________,________);

(2)若抛物线y=x2+bx+c经过C、D两点,求抛物线的解析式;

(3)将(2)中的抛物线沿y轴向上平移,设平移后所得抛物线与y轴交点为E,点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点,在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴.若存在,此时抛物线向上平移了几个单位?若不存在,请说明理由.

(提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-,顶点坐标是(-)

答案:
解析:

  解:(1)A(-2,0),D(-2,3)

  (2)∵抛物线y=x2+bx+c经过C(1,0),D(-2,3)

  代入,解得:b=-,c=

  ∴所求抛物线解析式为:y=x2x

  (3)答:存在

  解法一:设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x

  则平移后的解析式为:y=x2x+h=(x-1)2+h

  此时抛物线与y轴交点E(0,+h)

  当点M在直线y=x+2上,且满足直线EM∥x轴时

  则点M的坐标为()

  又∵M在平移后的抛物线上,则有

  +h=(h--1)2+h

  解得:h= 或h=

  (?)当h=时,点E(0,2),点M的坐标为(0,2)此时,点E,M重合,不合题意舍去.

  (ii)当h=时,E(0,4)点M的坐标为(2,4)符合题意

  综合(i)(ii)可知,抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴.

  解法二:∵当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时,仅当M,E重合时,它们的纵坐标相等.

  ∴EM不会与x轴平行

  当点M在抛物线的右侧时,设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x

  则平移后的抛物线的解析式为∵y=x2+h=(x-1)2+h

  抛物线与Y轴交点E(0,+h)

  ∵抛物线的对称轴为:x=1

  根据抛物线的对称性,可知点M的坐标为(2,+h)时,直线EM∥x

  将(2,+h)代入y=x+2得,+h=2+2解得:h=

  抛物线向上平移个单位能使EM∥x


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