Question

如图，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．

    (1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．

    当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M：

    当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：

    (2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).

设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，

 

Answer 1

【答案】

解：（1）10；。

（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，2）。

如图，当直线经过A(2，0)时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C(6，2)时，b=14。

当0≤b≤4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0。

当4＜b≤6时，直线扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1），

在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，－4＋b），

令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，则F（，0）。

∴AF=，AE=－4＋b。

∴S=。

当6＜b≤12时，直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如图2），

在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，则G（，0），

令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则H（，2）。

∴DH=，AG=。AD=2

∴S=。

当12＜b≤14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为五边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面积（如图3）

在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则M（，0），

令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。

∴MC=，NC=14－b。

∴S=。

当b＞14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。

综上所述。S与b的函数关系式为：

。

【解析】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。

【分析】（1）①∵直线y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)，

              ∴2=－2×4＋b，解得b=10。

②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，过点

P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=－2x＋b与x，y轴分别交于点A，B。

           则由△OAB∽△HMP，得。

           ∴可设直线MP的解析式为。

           由M(4，2)，得，解得。∴直线MP的解析式为。

           联立y=－2x＋b和，解得。

           ∴P（）。

           由PM=2，勾股定理得，，化简得。

           解得。

（2）求出直线经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五种情况分别讨论即可。