Question

如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．
小娜同学的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连接PE，问题得以解决．
请你回答：图2中∠APB的度数为______．
请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：
如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．
（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于______．

Answer 1

解：如图2．
∵根据旋转的性质知∠PBE=90°，△BCP≌△BAE．
∴BP=BE，PC=AE，
∴∠BPE=∠BEP=45°．
又PA：PB：PC=1：2：3，
∴AE²=AP²+PE²，
∴∠APE=90°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°，即图2中∠APB的度数为135°．
故答案是：135°；

（1）如图3，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACM，然后连接PM，△APM即为所求，即以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM．以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM．

（2）如图3．
∵根据旋转的性质知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM．
∴PC=CM，∠AMC=∠BPC=125°，
∴△PCM是等边三角形，
∴∠MPC=∠PMC=60°，∠AMP=∠AMC-∠PMC=65°．
∵∠APB=115°，∠BPC=125°，∠APB+∠BPC+∠MPC+∠APM=360°，
∴∠APM=60°，
∴∠PAM=180°-∠APM-∠AMP=55°．
∴以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于  60°、65°、55°．
故答案是：60°、65°、55°．
分析：图2中，根据旋转的性质知△BCP≌△BAE．由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的判定推知△BPE是等腰三角形，则∠BPE=∠BEP=45°；然后由全等三角形的对应边相等、勾股定理证得∠APE=90°；最后根据图中角与角间的数量关系求得∠APB=135°；
（1）设法把PA、PB、PC相对集中，将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△ACM，然后连接PM，问题得以解决．
（2）根据旋转的性质知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM．然后根据全等三角形的对应边、对应角相等，周角的定义以及三角形内角和定理来求以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数．
点评：本题综合考查了旋转的性质，等边三角形和正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点．旋转变化前后，对应角、对应线段分别相等，图形的大小、形状都不变．