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已知,纸片⊙O的半径为2,如图1,沿弦AB折叠操作.
(1)①折叠后的所在圆的圆心为O′时,求O′A的长度;
②如图2,当折叠后的经过圆心为O时,求的长度;
③如图3,当弦AB=2时,求圆心O到弦AB的距离;
(2)在图1中,再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作.
①如图4,当AB∥CD,折叠后的所在圆外切于点P时,设点O到弦AB.CD的距离之和为d,求d的值;
②如图5,当AB与CD不平行,折叠后的所在圆外切于点P时,设点M为AB的中点,点N为CD的中点,试探究四边形OMPN的形状,并证明你的结论.
(1)①2,② ,③(2)①2,②平行四边形,证明见解析
解:(1)①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆,
∴O′A=OA=2;
②当经过圆O时,折叠后的所在圆O′在⊙O上,如图2所示,连接O′A.OA.O′B,OB,OO′

∵△OO′A△OO′B为等边三角形,
∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°
==
③如图3所示,连接OA,OB,

∵OA=OB=AB=2,
∴△AOB为等边三角形,过点O作OE⊥AB于点E,
∴OE=OA•sin60°=
(2)①如图4,当折叠后的所在圆外切于点P时,
过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E,交CD于点G、交于点F,
即点E、H、P、O、G、F在直径EF上,

∵AB∥CD,
∴EF垂直平分AB和CD,
根据垂径定理及折叠,可知PH=PE,PG=PF,
又∵EF=4,
∴点O到AB.CD的距离之和d为:
d=PH+PG=PE+PF=(PE+PF)=2,
②如图5,当与不平行时,
四边形是平行四边形.
证明如下:
设O′O″为和所在圆的圆心,
∵点O′与点O关于AB对称,点O″于点O关于CD对称,
∴点M为的OO′中点,点N为OO″的中点
∵折叠后的所在圆外切,
∴连心线O′O″必过切点P,
∵折叠后的所在圆与⊙O是等圆,
∴O′P=O″P=2,∴PM=OO″=ON,PM=ON,
∴四边形OMPN是平行四边形.

(1)①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆,可得O′A的长度;
②如图2,过点O作OE⊥AB交⊙O于点E,连接OA.OB.AE、BE,可得△OAE、△OBE为等边三角形,从而得到的圆心角,再根据弧长公式计算即可;
③如图3,连接O′A.O′B,过点O′作O′E⊥AB于点E,可得△AO′B为等边三角形,根据三角函数的知识可求折叠后求所在圆的圆心O′到弦AB的距离;
(2)①如图4,所在圆外切于点P时,过点O作EF⊥AB交于于点E,交于点F,根据垂径定理及折叠,可求点O到AB.CD的距离之和;
②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证.
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