Question

10．如图，AB是半圆O的直径，且AB=4，点C是半圆上一点，半圆的切线DE垂直直线AC于点E．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）填空：
①当AE=$\frac{15}{4}$时，AD=4DE；
②当AE=3时，四边形AODC是菱形．

Answer 1

分析 （1）先利用切线的性质得OD⊥DE，则可判断OD∥AE，所以∠1=∠3，加上∠1=∠2，所以∠2=∠3；
（2）①连接CD、BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则可证明△AED∽△ADB，利用相似比得到AD²=4AE，则DE²=$\frac{1}{4}$AE，再根据勾股定理得到$\frac{1}{4}$AE+AE²=4AE，解得AE=$\frac{15}{4}$；
②利用菱形的判定方法，当AC=AO=2时，四边形AODC为菱形，则△AOC和△OCD都是等边三角形，所以CD=2，∠ODC=60°，然后在Rt△CDE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到CE=$\frac{1}{2}$CD=1，所以AE=3．

解答 （1）证明：∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∵AE⊥DE，
∴OD∥AE，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AD平分∠CAB；
（2）解：①连接CD、BD，如图，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠2=∠3，
∴△AED∽△ADB，
∴AE：AD=AD：AB，
∴AD²=4AE，
而AD=4DE，
∴DE²=$\frac{1}{4}$AE，
在Rt△ADE中，∵DE²+AE²=AD²，
∴$\frac{1}{4}$AE+AE²=4AE，解得AE=$\frac{15}{4}$，
即当AE=$\frac{15}{4}$时，AD=4DE；
②∵OA∥AC，OA=OD，
∴当AC=AO=2时，四边形AODC为菱形，
∴△AOC和△OCD都是等边三角形，
∴CD=2，∠ODC=60°，
在Rt△CDE中，∠CDE=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴AE=AC+CE=3，
即当AE=3时，四边形AODC是菱形．
故答案为$\frac{15}{4}$，3．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和菱形的判定．