Question

5．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE
（1）求证：AC²=AE•AB；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；
（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；
（2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；
（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．

解答 证明：（1）如图1，连接BC，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$，
∴∠A=∠ABC，
∵EC=AE，
∴∠A=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACE，
∵∠A=∠A，
∴△AEC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴AC²=AE•AB；

（2）PB=PE，理由是：
如图2，连接OB，
∵PB为⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP=90°，
∴∠PBN+∠OBN=90°，
∵∠OBN+∠COB=90°，
∴∠PBN=∠COB，
∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，
∠COB=2∠A，
∴∠PEB=∠COB，
∴∠PEB=∠PBN，
∴PB=PE；

（3）如图3，∵N为OC的中点，
∴ON=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OB，
Rt△OBN中，∠OBN=30°，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，
∵Q为⊙O任意一点，
连接PQ、OQ，
因为OQ为半径，是定值4，
则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，
当P、Q、O三点共线时，PQ最小，
∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，
∠A=$\frac{1}{2}$∠COB=30°，
∴∠PEB=2∠A=60°，
∠ABP=90°-30°=60°，
∴△PBE是等边三角形，
Rt△OBN中，BN=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2BN=4$\sqrt{3}$，
设AE=x，则CE=x，EN=2$\sqrt{3}$-x，
Rt△CNE中，x²=2²+（2$\sqrt{3}$-x）²，
x=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴BE=PB=4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$，
Rt△OPB中，OP=$\sqrt{P{B}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{8\sqrt{3}}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{21}$，
∴PQ=$\frac{4}{3}$$\sqrt{21}$-4=$\frac{4\sqrt{21}-12}{3}$．
则线段PQ的最小值是$\frac{4\sqrt{21}-12}{3}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形、等边三角形的性质和判定、垂径定理、切线的性质、勾股定理等知识，第三问有难度，确定PQ最小值时Q的位置是关键，根据两点之间线段最短，与勾股定理、方程相结合，解决问题．