Question

（2012•茂名）如图，⊙O与直线l₁相离，圆心O到直线l₁的距离OB=2

3

，OA=4，将直线l₁绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l₂刚好与⊙O相切于点C，则OC=

2

．

Answer 1

分析：在直角△ABO中，利用正弦三角函数的定义求得∠OAB=60°，然后由旋转的角度、图中角与角间的和差关系知∠OAC=30°；最后由切线的性质推知△AOC是直角三角形，在直角三角形中由“30°角所对的直角边是斜边的一半”即可求得OC=2．

解答：解：∵OB⊥AB，OB=2

3

，OA=4，
∴在直角△ABO中，sin∠OAB=

OB

OA

=

3

2

，则∠OAB=60°；
又∵∠CAB=30°，
∴∠OAC=∠OAB-∠CAB=30°；
∵直线l₂刚好与⊙O相切于点C，
∴∠ACO=90°，
∴在直角△AOC中，OC=

1

2

OA=2（30°角所对的直角边是斜边的一半）．
故答案是：2．

点评：本题考查了解直角三角形、旋转的性质、切线的性质等知识点．切线的性质：
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．