Question

如图，在矩形ABCD中，AB =6，AD =11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．
（1）△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程；
（2）当∠PCD =30°时，求AE的长；
（3）是否存在这样的点P，使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在，求DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1）△CDP∽△PAE.                 ………………………………（1分）
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D=∠A=90°，CD=AB=6.     ……………………（2分）
∴ ∠PCD+∠DPC=90°            
又∵ ∠CPE=90°,
∴ ∠EPA+∠DPC=90°,           ……………………（3分）
∴ ∠PCD=∠EPA.              
∴ △CDP∽△PAE.              ………………………（4分）
（2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD =.     ……………………（5分）
∴ PD=CD•tan∠PCD=6•tan30°=6×=2. …………（6分）
∴ AP=AD-PD=11-2.      ………………………………（7分）
解法1：由△CDP∽△PAE知，
∴ AE=    …………（8分）
解法2：由△CDP∽△PAE知∠EPA=∠PCD =30°，
∴ AE=AP•tan∠EAP=(11-2)•tan30°=. ……（8分）
（3）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=11-x
由△CDP∽△PAE知，                 ……………（9分）
∴ ，解得x=8，此时AP=3，AE=4．  ……………（10分）

解析