Question

已知二次函数y＝x²－(m²－2)x－2m的图象与x轴交于点A(x₁，0)和点B(x₂，0)，x₁＜x₂，与y轴交于点C，且满足＋＝．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)探究：在直线y＝x＋3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决．注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去； 　　(2)利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，进而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标． 　　解答：解：(1)∵二次函数y＝x2－(m2－2)x－2m的图象与x轴交于点A(x1，0)和点B(x2，0)，x1＜x2， 　　令y＝0，即x2－(m2－2)x－2m＝0①，则有： 　　x1＋x2＝m2－2，x1x2＝－2m． 　　∴＝＝＝， 　　化简得到：m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1． 　　当m＝－2时，方程①为：x2－2x＋4＝0，其判别式Δ＝b2－4ac＝－12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去； 　　当m＝1时，方程①为：x2＋x－2＝0，其判别式Δ＝b2－4ac＝9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意． 　　∴m＝1， 　　∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－2． 　　(2)假设在直线y＝x＋3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形． 　　如图所示，连接PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点． 　　∵抛物线y＝x2＋x－2与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点， 　　∴A(－2，0)，B(1，0)，C(0，2)，∴OB＝1，OC＝2． 　　∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA＝BC， 　　∴∠PAD＝∠CBO，∴∠APD＝∠OCB． 　　在Rt△PAD与Rt△CBO中， 　　∵， 　　∴Rt△PAD≌Rt△CBO， 　　∴PD＝OC＝2，即yP＝2， 　　∴直线解析式为y＝x＋3， 　　∴xP＝－1， 　　∴P(－1，2)． 　　所以在直线y＝x＋3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为(－1，2)． 　　点评：本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点、一元二次方程根的解法及根与系数关系、一次函数、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等方面的知识，涉及的考点较多，有一定的难度．

提示：

考点：二次函数综合题．