Question

【题目】已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．
（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；

（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接DO，CO，

∵BC⊥AB于B，

∴∠ABC=90°，

在△CDO与△CBO中， ，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠CDO=∠CBO=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线

（2）

解：连接AD，

∵AB是直径，∴∠ADB=90°，

∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，

∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，

∵在△ADF和△BDC中， ，

∴△ADF∽△BDC，

∴ = ，

∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，

∴∠E=∠DAB，

∵在△ADE和△BDA中， ，

∴△ADE∽△BDA，

∴ = ，

∴ = ，即 = ，

∵AB=BC，

∴ =1

【解析】（1）连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．
【考点精析】本题主要考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．