Question

已知：如图，P是等边△ABC外接圆的弧BC上一点，CP的延长线和AB的延长线相交于D点，连接BP．
求证：（1）∠D=∠CBP；（2）AC²=CP•CD．

Answer 1

分析：由题意要证角相等，需证三角形相似，根据圆周角定理及等边三角形性质得到相似条件；第二问根据第一问相似三角形条件得出相似比例，从而求解．

解答：证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°．
∴∠DBC=180°-∠ABC=120°．
∵四边形ABPC为圆内接四边形，
∴∠A+∠BPC=180°．
∴∠BPC=120°．
∴∠DBC=∠BPC=120°．
又∵∠BCP=∠DCB，
∴△BPC∽△DBC．
∴∠D=∠CBP．

（2）由（1）知△BPC∽△DBC，
∴

CP

BC

=

BC

CD

．
又∵AC=BC，
∴AC²=CP•CD．

点评：此题主要考相似三角形的判定及相似三角形性质，还考查等边三角形的性质，在圆中解题要分析各角之间的关系．