Question

13．如图，已知四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）当AC⊥BD时，四边形EFGH是什么图形？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线，可得EH与BD的关系，FG与BD的关系，根据菱形的判定，可得答案；
（2）根据正方形的判定，可得答案．

解答 （1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AC．
∴EH∥FG，EH=FG，
∴EHGF是平行四边形，
∵AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）四边形EFGH是正方形，理由如下：
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴∠HEF=90°．
又∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．

点评 本题考查了中点四边形，利用三角形的中位线得出EH∥BD，FG∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AC是解题关键，又利用了菱形的判定，正方形的判定．