Question

（2012•渝北区一模）如图，在图1中，A₁、B₁、C₁分别是等边△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图2中，A₂，B₂，C₂分别是△A₁B₁C₁的边B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，…，按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有（　　）个．

A．n²

B．2n

C．3n

D．3n+1

Answer 1

分析：根据菱形的判断定理：四条边相等的四边形是菱形或邻边相等的平行四边形是菱形．在图（1）中，有3个菱形；在图（2）中，有6个菱形；…按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有3n个．

解答：解：在图（1）中，A₁、B₁、C₁分别是等边三角形△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A₁C₁∥AB₁A₁B₁∥BC₁A₁C₁∥B₁C
∵A₁C₁=AB=₁A₁B₁=BC₁=A₁C₁=B₁C，
∴四边形A₁B₁AC₁、A₁B₁C₁B、A₁C₁B₁C是菱形，共有3个．
在图（2）中，A₂、B₂、C₂分别是△A₁B₁C₁的边B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，
同理可证：四边形A₁B₁AC₁、A₁B₁C₁B、A₁C₁B₁C、A₂B₂C₂B₁、A₂B₂A₁C₂、A₂C₂B₂C₁是菱形，共有6个．
…
按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有3n个．
故选C．

点评：本题考查了菱形的判定：四条边相等的四边形是菱形或邻边相等的平行四边形是菱形由特殊到一般，善于从中找出规律是关键．