Question

如图所示，抛物线y=x²-2x-3与x轴正半轴交于点A．在对称轴上是否存在点B使得△OAB是等腰三角形？写出所有满足条件的点B的坐标．

Answer 1

考点：二次函数的性质,等腰三角形的判定

专题：分类讨论

分析：先求出抛物线对称轴为直线x=1，令y=0，解关于x的一元二次方程求出OA的长，再分点O是顶角顶点、点A是顶角顶点两种情况讨论求解即可．

解答：解：抛物线对称轴为直线x=-

-2

2×1

=1，
令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，OA=3，
∵对称轴不垂直平分OA，
∴OA不能是底边，只能是腰，
①点O是顶角顶点时，

32-12

=2

2

，
此时，点B的坐标为（1，2

2

）或（1，-2

2

），
②点A是顶角顶点时，

32-(3-1)2

=

5

，
此时，点B的坐标为（1，

5

）或（1，-

5

），
综上所述，点B的坐标为（1，2

2

）或（1，-2

2

）或（1，

5

）或（1，-

5

）．

点评：本题考查了二次函数的性质，等腰三角形的判定，难点在于根据等腰三角形的顶角顶点的不确定分情况讨论．