解:(1)∵抛物线y=ax
2+bx+c与x轴有两个不同的交点A(x
1,0)、B(x
2,0)(x
1<x
2),且抛物线顶点的横坐标为1,
∴
=1,即x
1+x
2=2①;
又∵A、B两点间的距离为4,且x
1<x
2,
∴x
2-x
1=4②,
①与②组成方程组
,
解得
,
∴A(-1,0),B(3,0).
把A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax
2+bx+c,
得
,
解得
,
∴函数解析式为y=-x
2+2x+3;
(2)∵△ABC外接圆的圆心是M,
∴MA=MB=MC,M点在线段AB的垂直平分线上,
∵A(-1,0),B(3,0),
∴M的横坐标为:
=1.
设M(1,y),由MA=MC,
得(1+1)
2+y
2=1
2+(y-3)
2,
解得y=1.
故△ABC外接圆的圆心M的纵坐标为1;
(3)在抛物线上存在一点P,能够使△PBD(PD垂直于x轴,垂足为D)被直线BM分成面积比为1:2的两部分.理由如下:
设PD与BM的交点为E,可求直线BM解析式为y=-
x+
,
设P(x,-x
2+2x+3),分两种情况:
①当S
△BED:S
△BEP=1:2时,PD=3DE,如图.
则-x
2+2x+3=3(-
x+
),
整理,得2x
2-7x+3=0,
解得x=
或3,
∴
或
(舍去),
∴P(
,
);
②当S
△PBE:S
△BED=1:2时,2PD=3DE,如图.
则2(-x
2+2x+3)=3(-
x+
),
整理,得4x
2-11x-3=0,
解得x=-
或3,
∴
或
(舍去),
∴P(-
,
).
故在抛物线上存在点P(
,
)或P(-
,
),使△PBD(PD垂直于x轴,垂足为D)被直线BM分成面积比为1:2的两部分.
分析:(1)因为抛物线y=ax
2+bx+c与x轴有两个不同的交点A(x
1,0),B(x
2,0)(x
1<x
2),所以A和B关于抛物线的对称轴对称,于是
=1①;又因为A、B两点间的距离为4,且x
1<x
2,所以x
2-x
1=4②,将①②组成方程组,解出x
1,x
2的值,再将点A、B、C的坐标代入y=ax
2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)根据三角形外心的定义可知MA=MB=MC,由MA=MB及A、B两点的坐标,得出圆心M的横坐标为1,设M(1,y),根据MA=MC列出方程,即可求出M的纵坐标;
(3)设PD与BM的交点为E,分成两种情况考虑:①当△BPE的面积是△BDE的2倍时,由于△BDE和△BPD同高不等底,那么它们的面积比等于底边的比,即DE=
PD,可设出P点的坐标,那么E点的纵坐标是P点纵坐标的
,BD的长为B、P横坐标差的绝对值,由于∠OBC=45°,那么BD=DE,可以此作为等量关系求出P点的坐标;②当△BDE的面积是△BPE的2倍时,方法同①.
点评:此题是二次函数的综合类题目,其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式,二次函数的性质,三角形的外心,两点间的距离公式以及图形面积的求法等知识,综合性强,难度稍大,(3)中进行分类讨论是解题的关键.