Question

初三（1）班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大．
小组讨论后，同学们做了以下三种试验：

请根据以上图案回答下列问题：
（1）在图案（1）中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为6米，当AB为1米，长方形框架ABCD的面积是______m²；
（2）在图案（2）中，如果铝合金材料总长度为6米，设AB为x米，长方形框架ABCD的面积为S=______（用含x的代数式表示）；当AB=______时米，长方形框架ABCD的面积S最大；在图案（3）中，如果铝合金材料总长度为l米，设AB为x米，当AB是多少米时，长方形框架ABCD的面积S最大．

Answer 1

（1）当AB=1m时，AD=

4

3

m，S_{长方形框架ABCD}=AB×AD=

4

3

m²；

（2）图（2）中，设AB为x米，则AD=

6-3x

3

=2-x，
S_{长方形框架ABCD}=AB×AD=-x²+2x=-（x-1）²+1，
当x=1时，S取得最大值；
即当AB=1米，长方形框架ABCD的面积S最大．
图（3）中，设AB为x米，则AD=

l-4x

3

，
S_{长方形框架ABCD}=AB×AD=-

4

3

x²+

l

3

x=-

4

3

（x-

l

8

）²+

1

12

l²，
当x=

l

8

，长方形框架ABCD的面积S最大．
故答案为：

4

3

、-x²+2x、1．