Question

【题目】如图，抛物线y＝mx2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．

（1）求点C坐标及抛物线的解析式．

（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．

（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）点D的坐标为：(，﹣3﹣)、(﹣，﹣3+)、(1，﹣3)

【解析】

（1）设抛物线的表达式为：，解出a的值即可；

（2）设点P（x，x2+2x﹣3）、点M（x，﹣x），则PH＝PM＝，将表达式配成顶点式即可得出答案；

（3）分∠BCD＝90°、∠CDB＝90°两种情况，作出图形分别求解即可．

解：（1）∵抛物线与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，

∴抛物线的表达式为：，

即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）过点P作PM∥y轴交直线EF于点M，

设点P(x，x2+2x﹣3)、点M(x，﹣x)，

则PH＝PM＝，

当x＝﹣时，PH的最大值为；

（3）①当∠BCD＝90°时，如图2左侧图，

当点D在BC右侧时，

过点D作DM⊥y轴于点M，则CD＝1，OB＝1，OC＝3，

tan∠BCO＝＝tan∠CDM＝tanα，则sinα＝，cosα＝；

xD＝CDcosα＝，同理yD＝﹣3﹣，

故点D(，﹣3﹣)；

同理当点D（D′）在BC的左侧时，

同理可得：点D′(﹣，﹣3+)；

②当∠CDB＝90°时，

如右侧图，CD＝OB＝1，则点D(1，﹣3)；

综上，点D的坐标为：(，﹣3﹣)、(﹣，﹣3+)、(1，﹣3)．