Question

16．如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于点A、B两点，与y=$\frac{k}{x}$的图象交于C、D．CE⊥OA于E．若△BOD与△ACE的面积之和为5．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）求△OCD的面积；
（3）直接写出不等-x+3-$\frac{k}{x}$＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）连接OD、OC，利用对称性可得OD=OC，可证明△OBD≌△OAC，可用k表示出面积，可求得k的值，可求得反比例函数解析式；
（2）联立两函数解析式可求得C、D两点的坐标，再利用三角形面积之和可求得△OCD的面积；
（3）把不等式可化为-x+3＞$\frac{k}{x}$，即一次函数在反比例函数图象上方时对应的x的范围，结合图象可求得其解集．

解答 解：
（1）如图1，连接OD、OC，

∵直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于点A、B两点，
∴OA=OB=3，
∴∠OBA=∠OAB，
∴∠OBD=∠OAC，
由对称性可得OC=OD，
∴∠ODB=∠OCA，
在△OBD和△OAC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBD=∠OAC}\\{∠ODB=∠OCA}\\{OD=OC}\end{array}\right.$
∴△OBD≌△OAC，
∴S_△OBD+S_△ACE=S_△OCE=$\frac{1}{2}$|k|=5，又k＜0，
∴k=-10，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{10}{x}$；
（2）联立两函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=-\frac{10}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴C（5，-2），D（-2，5），
∴S_△OCD=S_△OAD+S_△OAC=$\frac{1}{2}$×2×7=7；
（3）∵-x+3-$\frac{k}{x}$＞0可化为-x+3＞$\frac{k}{x}$，
∴其解集为一次函数在反比例函数图象上方时对应的x的范围，
结合图象可知x＜-2或0＜x＜5．

点评 本题主要考查一次函数和反比例函数的交点，掌握求函数交点的方法是解题关键，注意数形结合思想的应用．