Question

11．如图，已知Rt△ABD中，∠A=90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠ABD=30°，BE=3，求弧CD的长．

Answer 1

分析 （1）因为这两个三角形是直角三角形，根据旋转的性质得出BC=BD，由AD∥BC推出∠ADB=∠EBC，从而能证明△ABD≌△ECB；
（2）由全等三角形的性质得出AD=BE=3．根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=2AD=6，根据平行线的性质求出∠DBC=60°，再代入弧长计算公式求解即可．

解答 （1）证明：∵∠A=90°，CE⊥BD，
∴∠A=∠BEC=90°．
∵BC∥AD，
∴∠ADB=∠EBC．
∵将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，
∴BD=BC．
在△ABD和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠EBC}\\{∠A=∠BEC}\\{BD=CB}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ECB；

（2）∵△ABD≌△ECB，
∴AD=BE=3．
∵∠A=90°，∠BAD=30°，
∴BD=2AD=6，
∵BC∥AD，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠ABC=90°，
∴∠DBC=60°，
∴弧CD的长为$\frac{60π×6}{180}$=2π．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，弧长的计算，证明出△ABD≌△ECB是解题的关键．