Question

16．如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段CE的长等于$\frac{12}{5}$，线段B'F的长等于$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 先依据勾股定理求得AB的长，然后在△ABC中，利用面积法可求得CE的长，然后依据勾股定理定理可求得AE的长，证明△ECF为等腰直角三角形可求得EF的长，依据FB=AB-AF求得FB的长，最后利用翻折的性质求解即可．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴CE=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$．
在△AEC中，依据勾股定理得：AE=$\frac{9}{5}$．
由翻折的性质可知∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCB，CE⊥AD，
∴∠ECF=45°．
∵CE⊥AD，
∴CE=EF=$\frac{12}{5}$．
∴FB=AB-AE-EF=5-$\frac{9}{5}$-$\frac{12}{5}$=$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{12}{5}$；$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CE的长，然后再利用勾股定理和等腰三角形的性质求得AE和EF的长是解答问题的关键．