Question

（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2

2

，PC=5，求∠BQC的度数．
（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理的逆定理,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据题意得出△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，进而得出∠PBQ=90°，再利用勾股定理得出∠PQC的度数，进而求出∠BQC的度数；
（2）由题意可得出：△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，进而得出∠PP'C=90°，即可得出∠BPA的度数．

解答：解：（1）连接PQ．
由旋转可知：BQ=BP=2

2

，QC=PA=3．

又∵ABCD是正方形，
∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，
即∠PBQ=90°，
∴∠PQB=45°，PQ=4．
则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，
∴PC²=PQ²+QC²．
即∠PQC=90°．
故∠BQC=90°+45°=135°．

（2）将此时点P的对应点是点P′．

由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．
又∵△ABC是正三角形，
∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，
得∠PBP′=60°，
又∵P′B=PB=5，
∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．
因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，
∴PC²=PP′²+P′C²．
即∠PP′C=90°．
故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理逆定理和正方形的性质等知识，熟练利用勾股定理逆定理得出是解题关键．