Question

9．如图1所示，长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示．
（1）求长方形ABCD的面积；
（2）求点M、点N的坐标；
（3）如果△ABP的面积为长方形ABCD面积的$\frac{1}{5}$，求满足条件的x的值．

Answer 1

分析 （1）点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明BC的长为4，当点P在CD上运动时，三角形ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且动路程由4到9，说明CD的长为5，然后求出矩形的面积；
（2）利用（1）中所求可得△ABP的面积为：10，进而得出M点坐标，利用AD，BC，CD的长得出N点坐标；
（3）分点P在BC、CD、AD时，分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式进而求出即可．

解答 解：（1）结合图形可以知道，P点在BC上，△ABP的面积为y增大，
当x在4--9之间得出，△ABP的面积不变，
得出BC=4，CD=5，
所以矩形ABCD的面积为：4×5=20．

（2）由（1）得：△ABP的面积为：10，则M点的纵坐标为；10，故M点坐标为：（4，10）；
∵BC=AD=4，CD=5，
∴NO=13，故N（13，0）；

（3）当△ABP的面积为长方形ABCD面积的$\frac{1}{5}$，则△ABP的面积为：20×$\frac{1}{5}$=4，
①点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度x，
y=$\frac{1}{2}$AB•PB=$\frac{1}{2}$×5x=$\frac{5x}{2}$，当$\frac{5x}{2}$=4，解得：x=1.6，
②点P在CD上时，4≤x≤9，点P到AB的距离为BC的长度2，
y=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×5×4=10（不合题意）
③点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度13-x，
y=$\frac{1}{2}$AB•PA=$\frac{1}{2}$×5（13-x）=$\frac{5}{2}$（13-x），当$\frac{5}{2}$（13-x）=4，解得：x=$\frac{57}{5}$，
综上，满足条件的x的值为：1.6或$\frac{57}{5}$．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，根据图2确定出矩形ABCD的两邻边的长是解题的关键．