Question

3．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点M在线段DF上，点N在线段BG上，MN∥AB，点P线段MN上，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于7．

Answer 1

分析 连接FH、EG，根据给定数据即可证明△AEF≌△CHG，根据全等三角形的性质即可得出EF=GH，同理可得EG=HF，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，从而得出△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．

解答 解：连接FH、EG，如图所示．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=4，∠A=∠C=90°，
∵BE=DH=1，
∴AE=CH=3．
在△AEF和△CHG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CG}\\{∠A=∠C=90°}\\{AE=CH}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CHG（SAS），
∴EF=HG．
同理可得：EG=HF，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∴S_△PEF+S_△PGH=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形EGHF}．
∵AD=BC=6，AF=CG=2，
∴DF=BG=4．
∵S_{平行四边形EGHF}=S_矩形ABCD-S_△AEF-S_△BEG-S_△CGH-S_△DFH=AB•BC-$\frac{1}{2}$AF•AE-$\frac{1}{2}$BE•BG-$\frac{1}{2}$CG•CH-$\frac{1}{2}$DH•DF=4×6-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×4-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×4=14，
∴S_△PEF+S_△PGH=7．
故答案为：7．

点评 本题考查了矩形的性质．全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及三角形的面积，连接FH、EG，找出四边形EGHF是平行四边形是解题的关键．