Question

5．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC于E，连结OE，若CD=$\sqrt{3}$．∠ACB=30°，则DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质得到DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠EDC=60°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=30°，∠ODA=∠A=30°，由平角的定义得到∠ODE=180°-∠ODA-∠CDE=90°，连接BD，由圆周角定理得到BD⊥AC，根据等腰三角形的性质得到AD=CD=$\sqrt{3}$，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：∵DE⊥BC于E，CD=$\sqrt{3}$．∠ACB=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠EDC=60°，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=30°，
∴∠ODE=180°-∠ODA-∠CDE=90°，
连接BD，∴BD⊥AC，
∴AD=CD=$\sqrt{3}$，
∴AB=2，
∴OD=1，
∴OE=$\sqrt{O{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．