Question

已知△ABC是为等边三角形，P为任意一点．

（1）当P在三角形内部时（图1），比较AP与BP+CP的大小，并说明理由；
（2）当P在BC边上时（图2），用“＞”“=”“＜”填空：AP

 

BP+CP；（不需说明理由）
（3）当P在三角形外部时（图3），
①请你借助旋转知识说明AP≤BP+CP；
②线段AP是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）、（2）此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可；
（3）①应把AP和BP所在的三角形旋转，与AP组成三角形，将△BPC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得△BP′A，易得△BPP′为正三角形，根据三角形三边关系即可证明．
②由①得线段AP存在最大值，P′在AP上时．

解答：解：（1）AP＜PB+PC．理由如下．
如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC．
根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．
又∵PA＜AB，
∴PA＜BC，
∴PA＜PB+PC；

（2）如图2，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC．
又∵AP＜AB，BP+CP=BC
∴AP＜BC，
∴AP＜BP+CP．
故答案是：＜；

（3）①将△BPC绕B点逆时针方向旋转60°，则C点与A点重合，得△BP′A．
连接PP′．
∵∠PBP′=60°，BP=BP′，AP′=PC．
∴△BPP′为正三角形．
∴PP′=BP．
i）如图3，若P′在AP上，则AP=PP′+AP′=BP+CP；
ii）如图4，若P′不在AP上，连接AP′、PP′，
在△APP′中，根据三角形三边关系可知：
AP＜AP′+PP′，
∴AP＜BP+PC，
综上所述：AP≤BP+CP；

②线段AP有最大值．
当且仅当P′在AP上时，AP=BP+PC；
存在的条件是：∠BPC=120°．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质．求三边关系，那么这三边应在一个三角形中，可通过旋转得到．