【题目】如图,在中,,,为外一点,将绕点按顺时针方向旋转得到,且点、、三点在同一直线上.
(1)(观察猜想)
在图①中, ;在图②中, (用含的代数式表示)
(2)(类比探究)
如图③,若,请补全图形,再过点作于点,探究线段,,之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)(问题解决)
若,,,求点到的距离.
【答案】(1);;(2),证明见解析;(3)点到的距离为或.
【解析】
(1)在图①中由旋转可知,由三角形内角和可知∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°,∠PAB+∠PBA+∠APB=180°,因为,∠OAP+∠PAB=∠OAB,所以∠APB=∠AOB=α;在图②中,由旋转可知,得到∠OBP+OAP=180°,通过四边形OAPB的内角和为360°,可以得到∠AOB+∠APB=180°,因此∠APB=;
(2)由旋转可知≌,,,,因为,得到,即可得证;
(3)当点在上方时,过点作于点,由条件可求得PA,再由可求出OH;当点在下方时,过点作于点,同理可求出OH.
(1)①由三角形内角和为180°得到∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°,∠PAB+∠PBA+∠APB=180°,
由旋转可知,
又∵∠OAP+∠PAB=∠OAB,
∴∠OBP+∠PAB+∠ABO+∠AOB=180°,即∠PAB+∠ABP+∠AOB=180°,
∴∠APB=∠AOB=α;
②由旋转可知,
∵=180°,
∴∠OBP+OAP=180°,
又∵∠OBP+OAP+∠AOB+∠APB=360°,
∴∠AOB+∠APB=180°,
∴∠APB=;
(2)
证明:由绕点按顺时针方向旋转得到
∴≌,,,,
又∵,
∴
∴
(3)【解法1】
(i)如图,当点在上方时,过点作于点
由(1)知,,
∵
∴
由(2)知,
∴
(ii)如图,当点在下方时,过点作于点
由(1)知, ,
∵
∴
∴
∴点到的距离为或.
【解法2】
(i)如图,当点在上方时 ,过点作于点,
∵,,
∴,
∵,取的中点
∴
∴点,,,四点在圆上
∴,且
∴
∴
∵,,
∴
在中,,设,则
∴,化简得:
∴,(不合题意,舍去)
∴
(ii)若点在的下方,过点作,
同理可得:
∴点到的距离为或.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)判断△ABC的形状;
(2)过点C的直线y交x轴于点H,若点P是第四象限内抛物线上的一个动点,且在对称轴的右侧,过点P作PQ∥y轴交直线CH于点Q,作PN∥x轴交对称轴于点N,以PQ、PN为邻边作矩形PQMN,当矩形PQMN的周长最大时,在y轴上有一动点K,x轴上有一动点T,一动点G从线段CP的中点R出发以每秒1个单位的速度沿R→K→T的路径运动到点T,再沿线段TB以每秒2个单位的速度运动到B点处停止运动,求动点G运动的最少时间及此时点T的坐标;
(3)如图2,将△ABC绕点B顺时针旋转至△A'BC'的位置,点A、C的对应点分别为A'、C',且点C'恰好落在抛物线的对称轴上,连接AC'.点E是y轴上的一个动点,连接AE、C'E,将△AC'E沿直线C'E翻折为△A″C'E,是否存在点A',使得△BAA″为等腰三角形?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了解中考体育科目训练情况,某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级:级:优秀;级:良好;级:及格;级:不及格),并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽样测试的学生人数是 人;
(2)图1中的度数是 ,并把图2条形统计图补充完整;
(3)该县九年级有学生4500名,如果全部参加这次中考体育科目测试,请估计不及格的人数为 .
(4)老师想从4位同学(分别记为、、、,其中为小明)中随机选择两位同学了解平时训练情况,请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,ABCD的顶点B,C在x轴上,A,D两点分别在反比例函数y=﹣(x<0)与y=(x>0)的图象上,若ABCD的面积为4,则k的值为:_____.
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【题目】如图,在中,,,,P是BC上一动点,过P作AP的垂线交CD于E,将翻折得到,延长FP交AB于H,连结AE,PE交AC于G.
(1)求证;
(2)当时,求AE的长;
(3)当时,求AG的长.
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【题目】如图,点P是矩形ABCD的边上一动点,矩形两边长AB、BC长分别为15和20,那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A.6B.12C.24D.不能确定
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【题目】在平面直角坐标系中, 抛物线如图所示.已知点的坐标为,过点作轴交抛物线于点,过点作交抛物线于点,过点作轴交抛物线于点,过点作交抛物线于点…若依次进行下去,则点的坐标为________.
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