Question

12．如图，边长为8的正方形的对角线AC与BD相交于O，点E是边DC延长线上的一点，点F是边AB上的一点，且OE⊥OF，EF=10，则△OEF的面积为20．

Answer 1

分析 如图，∠过点O作MN⊥AB于M，交CD于N，作FG⊥CD于G．在Rt△FGE中求出EG，设FM=NG=x，利用△OMF∽△ENO，得$\frac{OM}{EN}$=$\frac{MF}{ON}$，列出方程求出x，即可解决问题．

解答 解：如图，∠过点O作MN⊥AB于M，交CD于N，作FG⊥CD于G．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC=∠BCG=∠GC=90°，
∴四边形BCGF是矩形，
∴FG=BC=8，EG=$\sqrt{E{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6．
∵∠FMN=∠MNG=∠FGN=90°，
∴四边形MNGF是矩形，
∴FM=NG=x，MN=FG=8，
∴OM=ON=4，
∵∠EOF=90°，
∴∠FOM+∠EON=90°，
∵∠EON+∠OEN=90°，
∴∠FOM=∠OEN，∵∠OMF=∠ONE=90°，
∴△OMF∽△ENO，
∴$\frac{OM}{EN}$=$\frac{MF}{ON}$，
∴$\frac{4}{x+6}$=$\frac{x}{4}$，
∴x²+6x-16=0，
∴x=2或-8（舍弃），
∴OF=$\sqrt{O{M}^{2}+F{M}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，OE=$\sqrt{E{F}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∴S_△EOF=$\frac{1}{2}$•OE•OF=20，
故答案为20．

点评 本题考查正方形的性质、三角形面积、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形以及直角三角形，属于中考常考题型．