Question

【题目】如图, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=α.

(1)当α=60°, 如图则，∠DPE的度数______________

(2)若△BDE绕点B旋转一定角度，如图所示，求∠DPE（用α表示）

(3)当α=90°，其他条件不变，F为AD的中点，求证 ：EC ⊥ BF

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）α；（3）证明见解析．

【解析】

（1）由SAS证明△ABE≌△CBD，得到∠AEB=∠CDB，再由对顶角相等及三角形内角和公式可得∠EPD=∠EBD即可；

（2）与（1）同理可求∠DPE=∠DBE，即可得出结论；

（3）延长BF到K，使FK=BF，连接KD，延长EC交BK于M．由SAS证明△AFB≌△DFK，得到AB=KD，∠ABF=∠DKF，进而得到BC=KD，KD∥AB，再证明∠BDK=∠4，得到△EBC≌△BDK，由全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，即可得出结论．

（1）如图1，设BE和CD相交于M．

∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABE=∠CBD．

在△ABE和△CBD中，∵，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠AEB=∠CDB．

在△PME和△BMD中，∵∠PME=∠BMD，∠AEB=∠CDB，∴∠EPD=180°－∠AEB－∠PME=180°－∠CDB－∠BMD=∠MBD=60°；

（2）如图2，同理可求∠DPE=∠DBE=α；

（3）如图3，延长BF到K，使FK=BF，连接KD，延长EC交BK于M．

∵AF=DF，∠AFB=∠DFK，BF=KF，∴△AFB≌△DFK，∴AB=KD，∠ABF=∠DKF，∴BC=KD，KD∥AB，∴∠BDK+∠ABD=180°，∴∠BDK=180°－∠ABD=180°－（∠2+∠3+∠4+∠5）=180°－[（90°－∠4）+90°]=∠4．

在△EBC和△BDK中，∵EB=BD，∠4=∠BDK，BC=DK，∴△EBC≌△BDK，∴∠1=∠2．

∵∠2+∠EBK=90°，∴∠1+∠EBK=90°，∴∠EMB=90°，∴EC⊥BF．