Question

【题目】如图1，是一款常见的海绵拖把，图2是其平面示意图，EH是拖把把手，F是把手的一个固定点，海绵安装在两片活动骨架PA，PB上，骨架的端点P只能在线段FH上移动，当海绵完全张开时，PA，PB分别与HMHN重合；当海绵闭合时，PA，PB与FH重合．已知直杆EH=120cm，FH=20cm．

(1)若∠APB=90°，求EP的长(结果保留根号)

(2)若∠APB=26°，求MA的长(结果保留小数点后一位)

(3)海绵从完全张开到闭合的过程中，直接写出PA的中点Q运动的路径长．(参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，π取3.14)

Answer 1

【答案】(1)(120﹣10)cm；(2)15.5(cm)；(3)15.7(cm)

【解析】

(1)当海绵完全张开时，PA，PB分别与HMHN重合；当海绵闭合时，PA，PB与FH重合，得出PA=PB=FH=HM=HN=20，证明△APB是等腰直角三角形，由题意知，EH⊥MN，得出△APH也是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出PA= PH，得出PH= PA=，即可得出答案；
(2)由等腰三角形的性质得出∠APH=∠BPH，得出∠APH=∠APB==13°，AH=PAsin13°≈20×0.225=4.5，即可得出答案；
(3)由直角三角形斜边上的中线性质得出HQ始终等于PA=10cm，得出Q运动的轨迹是以H为圆心，半径为10cm的90°圆弧，由弧长公式即可得出答案．

(1)∵当海绵完全张开时，PA，PB分别与HMHN重合；

当海绵闭合时，PA，PB与FH重合，

∴PA=PB=FH=HM=HN=20，

∵∠APB=90°，

∴△APB是等腰直角三角形，

由题意知，EH⊥MN，

∴△APH也是等腰直角三角形，

∴PA=PH，

∴PH=PA=×20=10，

∴EP=EH﹣PH=(120﹣10)cm；

(2)∵PA=PB，EH⊥MN，

∴∠APH=∠BPH，

∴∠APH=∠APB=×26°=13°，

AH=PAsin13°≈20×0.225=4.5，

∴MA=HM﹣AH=20﹣4.5=15.5(cm)；

(3)∵EH⊥MN，Q是PA的中点，

∴HQ始终等于PA=10cm，

∴Q运动的轨迹是以H为圆心，半径为10cm的90°圆弧，

∴点Q运动的路径长=≈=15.7(cm)