Question

5．如图，平行四边形ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM，若平行四边形ABCD的周长为42，FM=3，EF=4，则AB的长为（　　）

• A． 12
• B． 13
• C． 14
• D． 15

Answer 1

分析 由条件易证∠AEB=∠AFD=∠DMC=90°，进而可证到四边形EFMN是矩形及∠EFM=90°，由FM=3cm，EF=4cm可求出EM．易证△ADF≌△CBN，从而得到DF=BN；易证△AFD∽△AEB，从而得到4DF=3AF．设DF=3k，则AF=4k．AE=4（k+1），BE=3（k+1），从而有AD=5k，AB=5（k+1）．由?ABCD的周长为42cm可求出k，从而求出AB长．

解答 解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，
同理：∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∠BCM=∠DCM=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∠CDM=∠ADM=$\frac{1}{2}$∠ADC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，AD=BC．
∴∠DAF=∠BCN，∠ADF=∠CBN．
在△ADF和△CBN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠BCN}\\{AD=CB}\\{∠ADF=∠CBN}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CBN（ASA）．
∴DF=BN．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∴∠AEB=90°．
同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．
∴∠EFM=90°．
∵FM=3，EF=4，
∴ME=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5（cm）．
∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．
∴四边形EFMN是矩形．
∴EN=FM=3．
∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，
∴△AFD∽△AEB．
∴$\frac{DF}{BE}$=$\frac{AF}{AE}$，
∴$\frac{DF}{3+DF}$=$\frac{AF}{4+AF}$，
∴4DF=3AF．
设DF=3k，则AF=4k．
∵∠AFD=90°，
∴AD=5k．
∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），
∴AB=5（k+1）．
∵2（AB+AD）=42，
∴AB+AD=21．
∴5（k+1）+5k=21．
∴k=1.6．
∴AB=13（cm）．
故选B．

点评 本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强．