Question

正方形ABCD边长为4，P点在直线BC上，PB=1，将直线AP绕A点逆时针旋转90°后与直线CD交于Q，则CQ=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,正方形的性质

专题：分类讨论

分析：分①点P在CB的延长线上时，根据正方形的性质可得AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，从而得到∠ABP=∠ADQ，根据旋转的性质可得利用同角的余角相等求出∠PAB=∠QAD，然后利用“角边角”证明△APB和△AQD全等，根据全等三角形对应边相等可得DQ=PB；②点P在线段BC上时，同理求出DQ的长，再根据CQ=CD+DQ计算即可得解．

解答：解：①点P在CB的延长线上时，如图1，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ABP=∠ADQ=90°，
∵AP绕A点逆时针旋转90°得到AQ，
∴∠PAQ=90°，
∴∠PAB+∠BAQ=90°，
又∵∠DAQ+∠BAQ=∠BAD=90°，
∴∠PAB=∠QAD，
∵在△APB和△AQD中，

∠ABP=∠ADQ AB=AD ∠PAB=∠QAD

，
∴△APB≌△AQD（ASA），
∴DQ=PB=1，
∴CQ=CD-DQ=4-1=3；
②点P在线段BC上时，如图2，同理求出DQ=PB=1，
∴CQ=CD+DQ=4+1=5，
综上所述，CQ的长是3或5．
故答案为：3或5．

点评：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质并求出DQ=PB是解题的关键，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．