Question

【题目】如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（　　）

A.①③B.②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FA＝FC，根据等边三角形的性质可得EA＝EC，根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，从而得到DF∥AE，DA∥EF，可得到四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；根据平行四边形的对角线互相平分可得AD＝AB＝2AF＝4AG；易证DB＝DA＝EF，∠DBF＝∠EFA＝60°，BF＝FA，即可得到△DBF≌△EFA．

连接FC，如图所示：

∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，

∴FA＝FB＝FC，

∵△ACE是等边三角形，

∴EA＝EC，

∵FA＝FC，EA＝EC，

∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，

∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；

∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，

∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．

∵∠BAC＝30°，

∴∠DAC＝∠EAF＝90°，

∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，

∴DF∥AE，DA∥EF，

∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；

∵四边形ADFE为平行四边形，

∴DA＝EF，AF＝2AG，

∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；

在△DBF和△EFA中， ，

∴△DBF≌△EFA（SAS）；

综上所述：①③④正确，

故选：C．