Question

【题目】已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB＝2，且∠1＝∠2，则下列结论中一定成立的是_____（把所有正确结论的序号都填在横线上）．①DF⊥AB；②CG＝2GA；③CG＝DF+GE；④S四边形BFGC＝﹣1．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD，AE=ED，由SAS证得△AFG≌△AEG，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出①正确；

②由DF⊥AB，F为边AB的中点，证得AD=BD，证出△ABD为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由AC=2ABcos∠BAC，AG，求出AC，AG，即可得出②正确；

③由勾股定理求出DF，由GE=tan∠2ED求出GE，即可得出③正确；

④由S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF求出数值，即可得出④不正确．

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠FAG=∠EAG，AB=AD，BC∥AD，

∴∠1=∠GAD．

∵∠1=∠2，

∴∠GAD=∠2，

∴AG=GD．

∵GE⊥AD，

∴GE垂直平分AD，

∴AE=ED．

∵F为边AB的中点，

∴AF=AE，

在△AFG和△AEG中，

∵，

∴△AFG≌△AEG(SAS)，

∴∠AFG=∠AEG=90°，

∴DF⊥AB，

∴①正确；

连接BD交AC于点O．

∵DF⊥AB，F为边AB的中点，

∴AFAB=1，AD=BD．

∵AB=AD，

∴AD=BD=AB，

∴△ABD为等边三角形，

∴∠BAD=∠BCD=60°，

∴∠BAC=∠1=∠2=30°，

∴AC=2AO=2ABcos∠BAC=2×22，

AG，

∴CG=AC﹣AG=2，

∴CG=2GA，

∴②正确；

∵GE垂直平分AD，

∴EDAD=1，

由勾股定理得：DF，

GE=tan∠2ED=tan30°×1，

∴DF+GEspan>CG，

∴③正确；

∵∠BAC=∠1=30°，

∴△ABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1，

FGAG，

S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF211，

∴④不正确．

故答案为：①②③．