Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，．

（1）如图1，直接写出点的坐标；

（2）如图2，若为边上一动点，连接，过作，交于点，交于点，点是的中点，连接、，猜想的度数，并说明理由．

（3）如图3，在（2）的条件下，过点作，交轴于点，连接，当点在边上（不含端点）运动过程中，等式是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (4，0)；(2)∠FED =45°，理由见解析；(3)成立，理由见解析

【解析】

(1)利用等腰直角三角形的性质，即可求得OB的长，从而求得点B的坐标；

(2)利用垂直的性质得∠AEO=∠AFO=90°，利用四点共圆的知识即可求解；

(3) 作AH∥OC交y轴于点H，证得四边形AGOH为平行四边形，再证得和，利用等量代换，即可证明结论．

(1)作AF⊥OB于F，

∵，且为等腰直角三角形，点A的坐标为(2，2)，

∴OF=AF=BF=2，

∴OB=OF+BF=4，

∴点B的坐标为(4，0)；

(2) ∠FED =45°，

理由如下：

∵∠BAO=90°，AB=AO，
∴∠AOB=45°，
∵AE⊥OC，AF⊥OB，

∴∠AEO=∠AFO=90°，
∴A、O、F、E四点共圆，
∴∠FED=∠AOB=45°；

(3) 等式成立，

理由如下：

过A作AH∥OC交y轴于点H，设AF与OC交于点G，

∵AF⊥OB，

∴AG∥y轴，

∴四边形AGOH为平行四边形，

∴OH=AG，AH=OG；

∵∠BAO=90°，AB=AO，AF⊥OB，

∴∠OAF=∠OBA=45°，

∵∠CAO=90°，AE⊥OC，

∴∠OAE+∠EAC=90°，∠OAE+∠AOC=90°，

∴∠EAC=∠AOC，

在和中，

，

∴，

∴，，

∴，；

∵AM∥EF，

∴∠MAD=∠span>FED=45°，

∵AH∥OC，AE⊥OC，

∴AE⊥AH，

∴∠HAE=90°，

∴∠MAH=∠MAD=45°，

在和中，

，

∴，

∴MD=MH，

∴MD=MH=OM+OH=OM+BD，

∴