Question

阅读并解答下列问题：

问题一．如图1，在?ABCD中，AD=20，AB=30，∠A=60°，点P是线段AD上的动点，连PB，当AP=______时，PB最小值为______

Answer 1

【答案】分析：（1）如图1，过点B作BP⊥AD于P，根据直角三角形的性质和勾股定理就可以求出结论；
（2）如图2，连接BD、ED交AC于点P，作DF⊥AB于F．由菱形的性质可以得出AC的值，再由△APE∽△CPD就根据相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）作B关于AC的对称点B′，连AB′，则N点关于AC的对称点N′在AB′上，这时，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距离BH′，连B与AB′和DC的交点P，再由三角形的面积公式可求出S_△ABP的值，根据对称的性质可知∠PAC=∠BAC=∠PCA，利用勾股定理可求出PA的值，再由S_△ABP= PA•BH′即可求解．
解答：解：（1）如图1，过点B作BP⊥AD于P，
∴∠APPB=90°．
∵∠A=60°，
∴∠ABP=30°，
∴AP=AB．
∵AB=30，
∴AP=15．
在Rt△ABP中，由勾股定理，得
BP==15．

（2）如图2，连结BD，连结DE交AC于点P，作DF⊥AB于F．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD．AC⊥BD，DO=BO=DB，AO=CO=AC，∠OAB=∠DAB．
∵∠DAB=60°，
∴△ABD和△CDB是等边三角形，
∴AF=AB=10，．
在Rt△ADF中，由勾股定理，得
DF=10．
∵AE=AB，且AB=20，
∴AE=5．
∴EF=5．
在Rt△EFD中，由勾股定理，得
DE==5，
∴BP+PE的最小值为5．
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
AO=10．
∴AC=20
∴△AEP∽△CDP，
∴．
∴，
∴AP=4．
答：当AP长为4时，PE+PB的值最小为5；

（3）如图3，作B关于AC的对称点B′，作B′Q⊥QB于Q，交AC于P．
连结AB′，则Q点关于AC的对称点H′在AB′上，
∴∠AHB=∠AHB′=90°，BH=B′H，
∴AB′=AB，
∴∠AB′H=∠ABH．
这时，B到P到Q的最小值等于B→P→H′的最小值，
等于B到AB′的距离BH′，
连J结AB′和DC的交点E，
则S_△ABE=×20×10=100，
由对称知识，∠EAC=∠BAC=∠ECA，
所以EA=EC，令EA=x，则EC=x，ED=20-x，
在Rt△ADE中，EA²=ED²+AD²，
所以x²=（20-x）²+10²，
所以x=12.5，
因为S_△ABE=EA•BH′，
所以BH′===16．
在△BB′H′和△B′BQ中，
，
∴△BB′H′≌△B′BQ（SAS），
∴BH′=B′Q=10．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=10．
∵S_△ABC==，
∴，
∴BH=4，
∴BB′=8．
在Rt△BB′Q中，由勾股定理，得
QB=8，
∴AQ=12．
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°，且∠ABC=90°，
∴PQ∥BC．
∴△AQP∽△ABC，
∴，
∴，
∴AP=6．
答：AP长为6时，PQ+PB的值最小为16．
故答案为：15，15．
点评：本题考查的是最短路线问题，考查轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答第三问时作出B点关于直线AC对称的点B′是解答此题的关键．