Question

12．如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是边BC、AC上两点，且AE=DC，BE、AD交于点H，连接CH．
（1）求∠BHD的度数；
（2）当∠BHC=90°时，求$\frac{BH}{HC}$的值；
（3）如图2，当∠BHC=150°时，$\frac{BH}{HC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AB=BC=AC，∠BAE=∠ACD=60°，由SAS证明△ABE≌△CAD，得出∠ABE=∠CAD，再由三角形的外角性质即可得出结果；
（2）证明C、D、H、E四点共圆，连接DE，由圆周角定理得出∠DEC=∠DHC=30°，∠EDC=∠EHC=90°，得出DC=$\frac{1}{2}$CE，DC=$\frac{1}{2}$BD，作DM⊥BE于M，则∠DMH=90°，DM∥CH，得出MD：HC=BM：BH=BD：BC=2：3，设MD=2x，则HC=3x，由三角函数得出MH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$MD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}x$，即可得出结果；
（3）同（2）得：C、D、H、E四点共圆，连接DE，由圆周角定理得出∠DEC=∠DHC=90°，∠EDC=∠EHC=30°，得出CE=$\frac{1}{2}$DC，BD=$\frac{1}{2}$DC，得出$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，作DM⊥AD交BE于M，则DM∥CH，得出MD：HC=BM：BH=BD：BC=1：3，设MD=x，则HC=3x，由三角函数得出DH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$MD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得出BH=$\sqrt{3}$x，即可得出结果．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
在△ABE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}&{\;}\\{∠BAE═∠ACD}&{\;}\\{AE=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BHD=∠ABE+∠BAH，
∴∠BHD=∠CAD+∠BAH=∠BAC=60°；
（2）由（1）得：∠BHD=60°，
∴∠DHE=120°，
∴∠DHE+∠BCA=120°+60°=180°，
∴C、D、H、E四点共圆，
连接DE，如图1所示：
则∠DEC=∠DHC=∠BHC-∠BHD=90°-60°=30°，∠EDC=∠EHC=180°-∠BHC=90°，
∴DC=$\frac{1}{2}$CE，
∵AE=DC，
∴BD=CE，
∴DC=$\frac{1}{2}$BD，
作DM⊥BE于M，则∠DMH=90°，DM∥CH，
∴MD：HC=BM：BH=BD：BC=2：3，
设MD=2x，则HC=3x，
在Rt△DMH中，∠MDH=30°，
∴MH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$MD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}x$，
∴BH=2$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{BH}{HC}$=$\frac{2\sqrt{3}x}{3x}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）∵∠BHC=150°，∠BHD=60°，
∴∠DHC=90°，
同（2）得：C、D、H、E四点共圆，
连接DE，如图2所示：
则∠DEC=∠DHC=∠BHC-∠BHD=90°，∠EDC=∠EHC=180°-∠BHC=180°-150°=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$DC，
∵AE=DC，
∴BD=CE，
∴BD=$\frac{1}{2}$DC，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
作DM⊥AD交BE于M，则∠MDH=90°，DM∥CH，
∴MD：HC=BM：BH=BD：BC=1：3，
设MD=x，则HC=3x，
在Rt△DMH中，∠DMH=30°，
∴DH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$MD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴MH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∴BH=$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{BH}{HC}$=$\frac{\sqrt{3}x}{3x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{2}$．

点评 本题是四点共圆题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线才能得出结果．