Question

【题目】探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P．

（1）求证：△ACN≌△CBM；

（2）∠CPN= °；（给出求解过程）

（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN= °；（直接写出答案）

（4）图③中∠CPN= °；（直接写出答案）

（5）拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN= °（用含n的代数式表示，直接写出答案）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）120；（3）90；（4）72；（5）.

【解析】

（1）利用等边三角形的性质得到BC=AC，∠ACB=∠ABC，从而得到△ACN≌△CBM.

（2）利用全等三角形的性质得到∠CAN=∠BCM，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解.

（3）利用正方形（或正五边形）的性质得到BC=DC，∠ABC=∠BCD，从而判断出△DCN≌△CBM，再利用全等三角形的性质得到∠CDN=∠BCM，再利用内角和定理即可得到答案.

（4）由（3）的方法即可得到答案.

（5）利用正三边形，正四边形，正五边形，分别求出∠CPN的度数与边数的关系式，即可得到答案.

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=∠BAC=∠ABC=60，

∴∠ACN=∠CBM=120，

在△CAN和△CBM中，

，

∴△ACN≌△CBM.

（2）∵△ACN≌△CBM.

∴∠CAN=∠BCM，

∵∠ABC=∠BMC+∠BCM，∠BAN=∠BAC+∠CAN，

∴∠CPN=∠BMC+∠BAN

=∠BMC+∠BAC+∠CAN

=∠BMC+∠BAC+∠BCM

=∠ABC+∠BAC

=60+60,

=120，

故答案为：120.

（3）将等边三角形换成正方形，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠ABC=∠BCD=90，

∴∠MBC=∠DCN=90，

在△DCN和△CBM中，

，

∴△DCN≌△CBM，

∴∠CDN=∠BCM，

∵∠BCM=∠PCN，

∴∠CDN=∠PCN，

在Rt△DCN中，∠CDN+∠CND=90，

∴∠PCN+∠CND=90，

∴∠CPN=90，

故答案为：90.

（4）将等边三角形换成正五边形，

∴∠ABC=∠DCB=108，

∴∠MBC=∠DCN=72，

在△DCN和△CBM中，

，

∴△DCN≌△CBM，

∴∠BMC=∠CND，∠BCM=∠CDN，

∵∠BCM=∠PCN，

∴∠CND=∠PCN，

在△CDN中，∠CDN+∠CND=∠BCD=108，

∴∠CPN=180-(∠CND+∠PCN)

=180-(∠CND+∠CDN)

=180-108，

=72，

故答案为：72.

（5）正三边形时，∠CPN=120=，

正四边形时，∠CPN=90=，

正五边形时，∠CPN=72=，

正n边形时，∠CPN=，

故答案为： .